Chat Percho 12 - Ars Mathématicae

Devant les nombreuses questions que se pose Claude par rapport aux maths, alors qu'elles sont le soutien de la pensée rationnelle, il me semble intéressant d'ouvrir le débat à leur sujet.

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Préambule R-Claudien :
Les mathématiques ont est bien d'accord sont un outil qui apportent beaucoup dans le détail. Mais ne servent strictement à rien dans l'analyse globale ou la prévision des phénomènes très complexes tels que l'économie ou la sociologie.

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Dans ce chat, que j'adore par ailleurs, peuplé de scientifique, j'ai régulièrement l'impression d'une démesure dans le statut des sciences dures, les métaphores avec la physique nucléaire étant la manifestation la plus criante de cet orgueil prométhéen du "tout s'explique par les mathématiques"...

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La science physique s'intéresse aux phénomènes simples concernant la matière, les gaz, les ondes etc... Cela en jete parceque l'on ne voit pas tous ces phénomènes à l'oeil nu et on ne les perçois que par la science physique. mais tout cela reste infiniment plus simple que l'humain !
Pour les phénomènes complexes, j'ai eu l'occasion de discuter récemment avec des spécialistes : on est vachement revenu de l'intelligence artificielle et des fractales... J'attache beaucoup plus d'importance à des disciplines comme la théorie des jeux (qui fait partie des maths tout de même il faut le souligner) car dès qu'il s'agit de matière humaine (comme l'économie), il s'agit de stratégie des chaque acteur économique, comme l'indique Michel Crozier...
Soyons francs : certaines formations scientifiques sont des boulets pour parler de l'homme en général et de l'économie ou de la sociologie en particulier.
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Jacqueline de Romilly qui a longtemps milité pour des formations humanistes l'a toujours dit, et le prof d'économie que j'ai sollicité il y a quelques mois pour un débat sur le libéralisme (qui vient de recevoir un prix économique, c'est dire qu'il est bon) dit la même chose : les formations physiques et mathématiques poussées vont souvent de paire avec une immaturité intellectuelle et un raisonnement sans nuance. Ton blog me semblait très axé sur les mathématiques appliquées à la critique politique et économique. Pour ne rien te cacher, j'ai horreur de cela... Parle moi de théorie des jeux, là oui, je te suivrai !

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Un peu d'Histoire :

Les mathématiques sont friandes d'écriture, elles sont ainsi probablement apparues en même temps que cette dernière. Leur origine est liée au calcul et au commerce, déjà...

Les Grecs ont approfondi son abstraction et en ont reconnu deux branches ; l'arithmétique et la géométrie. Ils ont formalisé des notions comme axiomes, théorèmes et démonstrations. A leur suite Ben Laden a développé différentes analyses, l'algèbre, la trigonométrie et bien d'autres choses encore (avec participation chinoise).

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Le bouillonnement intellectuel de la renaissance a vu l'apparition des "sciences" telles que nous les entendons aujourd'hui et a développé des mathématiques à tendance toujours plus abstraite en réponse aux importants besoins des physiciens. Par exemple, Newton avec le calcul infinitésimal. Il est d'ailleurs intéressant de constater que la pression des physiciens s'est toujours accompagnée d'une évolution vers l'abstraction, pas vers les "recettes de cuisine".

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Le XIXème siècle voit la généralisation de méthodes abstraites et voit les mathématiciens rechercher toujours plus loin les fondements de leur discipline. Mais la philosophie générale est toujours cartésienne et réductionniste.

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Le XXème siècle a été "l'explosion" des mathématiques avec des développements toujours plus abscons, mais pourtants effecteurs. La logique a révolutionné le début du siècle en permettant une vision réunifiée des mathématiques. Elle a également ouvert la porte à des résultats inattendus comme le "théorème d'incomplétude". Rappelons que "l'incomplétude" est la profession d'humilité du mathématicien, elle nous démontre que tout n'est pas démontrable et que les mathématiques ont des limites incontournables... Les maths ont ouvert la porte à "l'émergence".

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Mathématisation des mathématiques :

Les maths ont l'extraordinaire faculté de permettre leur propre analyse ; Les méta-mathématiques sont encore des mathématiques, tout ce qui est analysé avec suffisament de finesse et de rigueur peut se mathématiser. Par exemple, les maths sont basées sur une structure assez élémentaire ; des postulats, des propositions et des démonstrations de ces propositions. La notion même de "démonstration" a été analysée et définie avec une précision suffisante pour pouvoir devenir un objet mathématique ce qui a permit les importants développements de la Logique au début du siècle dernier.

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Aujourd'hui, il n'y a plus guère de mathématiciens pour croire en une "fin" prévisible de leur cher domaine d'étude, en un achèvement de la connaissance dans un "tout est dit, tout est su". Il y aura toujours un niveau supérieur de réflexion pour englober les connaissances déjà acquises, la quète est sans fin. De nouvelles "théories" peuvent émerger à l'infini des conceptions de base. Un peu comme en physique où l'on pense aujourd'hui qu'il n'y a pas de structure fondamentale, que l'on découvrira toujours une structure plus "fine" à notre monde, c'est la nouvelle philosophie de "l'émergence".

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Maths et Réalité :

Ce que l’on appelle "la résistance du réel" est l’un des arguments épistémologiques fort du principe de réalité ; c'est à dire le fait qu’on ne fait pas ce que l’on veut du réel. Cet argument est appliqué en physique, il l’est aussi en mathématiques ; à partir d'hypothèses données, on ne peut pas démontrer n'importe quoi, même si le choix d'autres hypothèses...

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De plus "l’unicité" des mathématiques et leur indépendance du mathématicien qui les pratique (deux mathématiciens complètement étrangers vont pratiquer les mêmes raisonnements) est aussi un argument fort pour attribuer une "réalité" à celles-ci. Ceci conduit à penser que la "mathématisabilité" est bien une propriété intrinsèque de la nature, indépendante d'Homo Sapiens, et qu’elle correspond à une "réalité" sous-jacente.

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Les mathématiques sont une "vision" du monde, propre au cerveau, mais en correspondance avec le réel. Elles sont comme les images rétiniennes qui ne nous trompent JAMAIS lorsque l'on sait les interpréter.

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Maths et Complexité :

Loin de mettre au rencard l'outil mathématique, la complexité du monde est au contraire un argument pour son usage. La compréhension du monde ne peut plus se faire sans passer par cette capacité intellectuelle. "L'intuition" d'Homo Sapiens lui permet certes d'appréhender le monde et de s'orienter dans sa vie, toutefois vouloir s'orienter dans la complexité universelle sans les mathématiques c'est comme s'aventurer dans le désert sans boussole, c'est un peu hasardeux... Il est vrai que tous ne savent pas lire une boussole...

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La vision du monde est à "l'émergence", le réductionnisme pur et dur a vécu. Ce nouveau paradigme va de pair avec un principe "d'incalculabilité", les propriétés émergentes sont considérées comme vérifiables, dépendantes d'une causalité, mais non "anticipables", il est extrêmement difficile de les prévoir a priori et de les calculer. C'est par exemple le cas de la météo ; les gouttes de pluie qui arrosent notre jardin dépendent de causes parfaitement identifiables, leur origine et leur trajectoire sont parfaitement calculables, pourtant la chute au temps t et à l'endroit x d'une goutte donnée est parfaitement imprévisible.

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Et pourtant, même si la goutte de pluie est "incalculable", les maths gardent entièrement leur rôle, elles permettent une prévision générale utile même si elle n'est pas détaillée, elles vont prédire précisément qu'il va tomber tant de litres d'eau au mètre carré et refuser le détail de la goutte individuelle en toute humilité (humidité oserais-je écrire). La prévision d'un ouragan est utile, voire indispensable, elle ne saurait se faire sans outils sophistiqués.

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Maths, détails et globalité :

Quelques branches des sciences nous montrent bien la différence entre le détail et le global, on notera notamment les liens entre thermodynamique, physique statistique, logique et théorie de l'information. Les mathématiques de la physique statistique nous permettent de déduire des comportements globaux d'ensembles de variables complètement incalculables du fait de la démesure de leur cardinal (PS : nombre d'éléments d'un ensemble).

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Contrairement à certaines idées reçues les mathématiques sont aussi efficaces pour analyser des "généralités" que pour calculer des valeurs précises. La physique elle-même, avec le développement de la quantique, est passée de calculs détaillés et ciblés à des résultats généraux et probabilistes qui ne se prononcent plus sur le "détail" des évènements. Ainsi les conceptions intellectuelles développées par les physiciens d'aujourd'hui sont parfaitement adaptées à des situations "hyper-complexes" comme on peut les rencontrer en économie.

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Enfin, les maths n'ont aucunement la prétention "d'expliquer", elles aident à comprendre et à prévoir. C'est l'homme, matheux ou non, qui "explique" en trouvant les relations de cause à effet. Les maths viennent ensuite formaliser ces relations. Le microscope ne crée pas les microbes, il aide à les voir, les mathématiques ne créent pas des relations de cause à effet, elles aident à les analyser.

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Jeu de Maths :

La théorie des jeux, outil de calcul de stratégie et de recherche opérationnelle, n'est qu'un sous-ensemble de ce volet des mathématiques dérivé de la logique, on la classe aujourd'hui dans le groupe des "théories des graphes". Cette théorie est fort utilisée en économie, il est malheureusement erroné d'y voir une panacée, elle n'y est pas plus efficace que d'autres outils mathématiques. Elle présente l'avantage d'une certaine simplicité conceptuelle et d'une formalisation qui correspond bien à des "situations" rencontrées dans le monde de l'argent et du pouvoir, c'est pourquoi elle y est fort utilisée. Hélas elle est extrêmement réductrice et son usage est fortement "coloré" par les a priori conceptuels de ceux qui l'utilisent, elle a tendance a trop simplifier les règles du jeu et fait souvent passer des vessies pour des lanternes.

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En la matière les concepts développés par Boltzmann (physique statistique) sont aussi efficaces que ceux mis en avant par Von Neumann (théorie des jeux), deux grands "mann" des mathématiques ; la "logique" s'attaque aux détails alors que les "statistiques" analysent le global et lorsque les situations sont complexes la complémentarité des deux est indispensable.

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Pragmatiquement parlant les économistes ne sont guère plus avancés que les météorologues et quelques expériences sophistiquées ont montré qu'un chimpanzé a autant de chance de gagner en bourse qu'un spécialiste de la théorie des jeux. En fait, le "délit d'initié" est la seule méthode fiable pour maximiser le rendement de ses actions, mais je ne connais aucune modélisation qui intègre ce paramètre... Problème de morale ? ou effet d'un néo-féodalisme...

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"La" Mathématique :

On dit "Les" mathématiques, cette discipline semble ainsi morcelée en domaines séparés. Et pourtant, les liens entre les différentes branches des mathématiques sont très nombreux et la "dualité" est un concept très fructueux. Aujourd'hui les démonstrations des problèmes les plus difficiles font toutes appels à plusieurs branches, le génie du mathématicien est de savoir formuler un même problème dans plusieurs d'entre elles et de profiter de chacune pour y traiter le point de vue le plus simple. Ainsi algèbre et géométrie ne sont que deux visions d'une même réalité.

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Cette ouverture d'esprit est une richesse fondamentale dans de nombreux domaines. Pour prendre un exemple, une notion comme celle de "fractale" est aux confluents de la géométrie et du calcul numérique mais n'est en rien une nouvelle méthode de calcul destinée à révolutionner des prévisions. C'est un principe de changement d'échelle qui reconnait des exposants non entiers et des relations de type surface = dimension à une puissance fractionnaire. Ce concept se retrouve un peu partout, biologie, économie, etc... le voir comme une panacée mathématique est une grossière erreur dépassée depuis longtemps, l'intégrer comme une ouverture d'esprit vers de "nouvelles dimensions" est son meilleur usage. Ainsi, mesurer la longueur de la côte Bretonne est devenu un exercice conceptuellement simple, le résultat y trouve une "beauté formelle" qui en facilite la compréhension. Toutefois les fractales n'ont en rien facilité le travail de l'arpenteur et du géomètre sur le terrain, ce n'est pas leur rôle. Tout juste permettent elles de généraliser une mesure d'arpentage à une échelle différente, ce qui n'est pas possible sans ce concept, il faut refaire la mesure.

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Maths, Sélection et C'est moi le meilleur :

Nous en avons déjà débattu, c'est une erreur de mélanger les mathématiques comme instrument intellectuel des mathématiques comme outil de sélection. N'importe quelle autre compétence si elle était choisie pour le "tri" des personnes se verrait souffrir des mêmes défauts... L'économie comme une autre... Un énarque souffre des défauts de la "sélection", pas du défaut d'être mathématicien. D'ailleurs les sélectionnés par les maths oublient trés trés vite cette matière et y sont le plus souvent incompétents (sauf bien sur pour les sélectionnés "pour faire des maths" comme les chercheurs). Une formation est toujours un "boulet" lorsqu'elle ne correspond pas aux besoins de l'activité intellectuelle pratiquée, c'est vrai pour les maths, la physique, la biologie, l'économie, etc. etc...

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L'immaturité apparente des physiciens en économie est en fait très réciproque, un économiste paraîtra particulièrement immature à un physicien avec son incapacité à comprendre le monde qui l'entoure... d'un point de vue de physicien... Le problème apparait toujours lorsqu'un spécialiste se targue de remplacer un autre spécialiste, et cela quelle que soit la spécialité ! Et un économiste ne connait rien au monde puisqu'il est incapable de faire la différence entre un neutrino muonique et un neutrino tauique. Et dire que savoir distinguer deux types de placement ou deux méthodes d'amortissement est plus important que reconnaitre deux neutrinos relève d'un jugement de valeur parfaitement symétrisable...

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Croire que la physique est simple est un manque de nuance propre à un non-physicien, croire que l'économie est simple est un même défaut chez un non-économiste. Imaginer qu'un physicien ne sait que calculer une onde ou l'état d'un gaz c'est croire qu'un économiste ne sait faire que des tableaux d'amortissement ! Le mythe du "simple" a vécu... Partout... L'humilité contre-prométhéenne est de reconnaitre les compétences de l'expert d'à côté, pas de croire qu'on est le seul sans orgueil. Mais il est remarquable que les "grands spécialistes", physiciens comme économistes, ont la fâcheuse tendance a se prendre les pieds dans le tapis du "moi seul sait tout". Statistiquement parlant cela semble particulièrement vérifié chez les Nobels de tous poils dont les écrits et les propos sont souvent d'un orgueil désagréable en dehors de leur domaine d'expertise. A la création d'un Nobel de l'humilité le comité de sélection risquerait fort de se retrouver sans candidat...
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